本刊主笔  和峰

编者按：西方数学界长期把一致性演绎绝对化，在数学领域发生了重大错误，导致数学基础领域迷雾重重。中国一个业余的数学学者，通过几十年研究，把悖论、矛盾思维方式数学化，创立了“S型超协调逻辑”，推翻了一批长期盘踞在数学领域、被奉为经典圭臬的数学定理，他的理论亦为“和学”科学思想体系的天道辩证逻辑提供了数学语言支撑，将领导一个新的数学时代！

浩瀚宇宙，星光灿烂；历史长河，英雄辈出！

从自然界到人类社会，从科学到宗教，从东方太极到西方辩证法……悖论左右着宇宙的终极规律。

悖论是一个古老而又年轻的科学难题！当结论与初始条件相悖出现矛盾即是悖论。如果事件A发生，则推导出非A；非A发生则推导出A。

古希腊流传着一个著名的“说谎者悖论”。公元前六世纪，克里特岛的哲学家
(Epimenides)说：“所有克利特岛人都是说谎者”。这个悖论使人的思维陷入了两难的境地。由于其通俗性，几乎人人都能理解。因此，说谎者悖论也成为人们茶余饭后的思维游戏。

1897年福尔蒂（Fort）揭示了数学领域集合论中的第一个悖论，以后数学家康托（Cantor）在其序数理论中发现了很相似的悖论。1902年罗素（Russel）又发现了一个严格意义上的数学悖论。罗素悖论使整个数学大厦动摇，悖论终于引起了科学界的“惊慌”与高度重视。

西方的迷雾

罗素悖论动摇了整个数学基础，史称第三次数学危机。为了解决悖论，西方数学界提出了很多新理论、新方法，寻求突破。

为了解决这一次数学危机,
罗素提出了逻辑主义的纲领；希尔伯特（Hilbert）提出了著名的希尔伯特计划，建立一门数学的基础彻底证明数学的无矛盾性，被称为形式主义；布劳威尔(Brouwer）提出构造性数学，反对在无穷集合中使用排中律与反证法，被称为直觉主义。形式主义、逻辑主义、直觉主义是著名的数理逻辑中的三大学派。

还有公理集合论学派，为了克服集合论悖论，试图把集合论公理化，用公理对集合加以限制。策梅洛（Zermelo）和弗伦克尔（Fraenkel）等提出的ZF系统。

以上方案，本质上都追求系统的一致性，都是为了防止矛盾而建立的。历史证明，以上各种学派都有各自的优点和缺陷，弥补了数学基础的很多不足。但他们相互之间并没有一个统一的认识，各自的目标并没有完全实现，更没有把悖论解释清晰。

经典逻辑系统，是一个相容的逻辑系统，如果出现悖论，系统就会“崩溃”。相对以上一致性的研究方案，近来国际上出来一些容纳矛盾与悖论的逻辑系统，这些逻辑系统各不相同，大多数是限制矛盾律的。通过修改经典逻辑系统的否定词，使系统可以容纳矛盾，而不导致系统崩溃。如巴西达克思塔（Da.
Costa）的“次协调逻辑”、美国布兰登（R.Brandow）的“不协调逻辑”和澳大利亚路特雷（R.Routley）的“超协调逻辑”，以及澳大利亚普里斯特(G.Priest）的“悖论逻辑”，都是这种类型的逻辑系统。

罗素悖论与一个对角线方法有关。“对角线构造方法”也是数学领域的一个经典证明方法。
康托（Cantor）用它证明“自然数幂集合是不可数集合”，“实数集合不可数”； 哥德尔（G?del）用它证明“自然数系统PA是不完全的”，图灵（Turing）用它证明：“停机问题”是不可判定的；还有递归论里用它证明“自然数集合上存在非递归集合”，等等，这些重要命题的证明使用了同一的数学方法，被誉为“一条金色的对角线”。

自从“哥德尔不完全定理”，“康托的对角线证明法”的提出，国际上都提出了不少质疑意见。比如著名的奥地利哲学家、数理逻辑学家维特根斯坦（Wittgenstein），就不承认康托尔与哥德尔的证明。澳大利亚悖论逻辑的创始人普里斯特，都否定哥德尔不完全定理证明的有效性。但是，他们的观点是零碎的，带有哲学性，数学性不强。没有把问题搞清晰，说透彻，因此没有被数学主流学派接受。

几个世纪以来，对角线方法，以及与之相关的悖论，其存在规律和内在机制仍然没有搞清。西方数学基础，像笼罩着重重迷雾，看不清方向，看不到前途。这也意味作，悖论不是某一个数学领域的局部问题，而它孕育一个全新方法的突破。

“石破天惊”的证明

近些年来，中国一个业余逻辑研究学者—张金成，在归纳西方数学失败的基础上，创造了一种全新的逻辑系统—S型超协调逻辑。
S型超协调逻辑把长久不解的各种“数学悖论”、“哥德尔不可判定命题”、“康托的对角线方法证明”等完全统一起来，发现了它们的共同的数学形式，是完全等价的，得出了令世界震惊的结论。

S型超协调逻辑只对经典逻辑系统做了一个很小的修改，而它的推论是颠覆性的、革命性的。否定了一大批西方数学定理，这些定理都是错误的。

具体地说：

1、否定了“哥德尔不完全定理”的证明。

1931年哥德尔证明“包含自然数的形式系统是不完全的”，这就是著名的哥德尔不完全定理，被认为是20世纪数学领域划时代的贡献，誉为“数学和逻辑发展史中的里程碑”。它已经渗透到数学、逻辑、语言、人工智能、自然科学、思维科学和认识论，乃至人文科学的各个角落。“哥德尔不完全定理”一直被主流学派奉为金科玉律，享有无比崇高的荣誉。S型超协调逻辑证明“哥德尔不可判定命题”是自然数系统中的域外项，进而得到“一般递归集合外也存在类似的不可判定命题”。哥德尔不可判定命题并不影响系统的完全性，“哥德尔不完全定理”的证明是不成立的。由于传统思维的局限性，哥德尔发现了域外项，但他没有认识到，误以为证明了“不完全定理”。这如同15世纪哥伦布发现了美洲新大陆，但他误以为是到了印度。哥德尔犯了同类错误。

2、否定了“康托定理”的证明。

1873年，康托用一一对应的方法定义了可数集合与不可数集合；用“对角线方法”证明了无穷集合不能与它的幂集合建立一一对应关系；自然数集的幂集合是不可数的，实数是不可数的。这些理论已经渗透到现代数学的各个具体领域。S型超协调逻辑证明康托用“对角线方法”构造的项都是域外项，与“悖论”、“域外不可判定命题”在形式上都是一样的，是一个域外“不封闭项”。因此，康托的证明是不成立的。

否定了“图灵停机问题不可判定”的证明。图灵
证明“停机问题不可判定”，这个定理是传统《可计算理论》的一个重要定理。S型超协调逻辑证明这个定理的证明也是对角线方法，构造的项都是域外项，与“哥德尔不完全定理”、“康托实数不可数”在形式上证明都是一样的，“图灵停机问题不可判定”
证明是错误的。不可判定的“图灵机”是一个域外“不封闭项”。

3、否定了反证法的普遍有效性。

反证法是数学中的一个经典证明方法。所有的对角线证明方法都是反证法。S型超协调逻辑表明：反证法只能在一个封闭的域上有效，超出了封闭的域，反证法就无效了。只要有自指代，就可能产生“不封闭项”，在这个基础上盲目使用“反证法”，只能得出错误的结论。所以，不仅“哥德尔不完全定理”的证明是错误的，类似或者以“哥德尔不完全定理”为基础的一些众多定理、理论，如“图灵机的停机问题，递归集合可判定问题，”等等，都必须重新审查，这将涉及《数学哲学》、《数理逻辑》、《计算机理论》、《函数论》、《测度论》等以“康托不可数理论”为基础的众多科学领域。

当代杰出的数学天才

“S型超协调逻辑”的原创者—张金成，是我国当代杰出的数学天才。他原本是安徽广德县的普通数学教师。他做出这些重大证明与数学发现，让人倍感惊讶。他并不是一个专业的科研工作者或大学教授。他原来在党校从事数学与哲学教学工作，后来因为研究需要，他辞职自己创办了一个培训学校，培训中学生奥数，几十年业余坚持研究数学及悖论问题。

张金成初高中时代，就特别爱好数学。读高中时就自学完成了大学的《微积分》《复变函数论》等内容，对数学具有特别高的天赋与强烈的兴趣。他没有到正规大学学习过数学，高中毕业后即参加了工作。虽然以后在党校工作中通过函数取得了大学文凭，都与数学无关。所有的数学知识都是他自学完成的。一些让博士望而生畏的《集合论》《递归论》《数理逻辑》等西方数学理论内容，几乎是无师自通。

早年刚20多岁的他，就在《武大学报》发表数理逻辑论文，并受到武汉大学哲学系教授桂起权、陈晓平的高度重视，并希望能录取他为武汉大学研究生。由于一些不同意见的阻扰，最终没有成功。他在《武大学报》发表第一个形式系统Z，现在看来比较幼稚，但为他以后建立“S型超协调逻辑”找准了方向。

他认为西方数理逻辑界的纯粹一致性数学系统，排斥矛盾与悖论的研究方法，好像失去了哲学指导，失去了方向，在死胡同中兜圈子，而找不到根本出路。而中国道家的太极文化蕴含的阴阳辩证哲学是一种接纳矛盾的哲学，能否把辩证哲学与数学构造，这两种发展方向统一起来。使用纯粹数学的方法来研究矛盾、悖论等哲学问题，这是西方数学界思想界最前沿的课题，而这成了他坚定的研究目标。几十年中，他自费参加了几十次大学院校的各种相关学术会议，断断续续进行了上百次修正，终于建成了超协调逻辑系统。

2011年–2014年，他的论文《逻辑及数学演算中的不动项与不可判定命题Ⅰ、Ⅱ》发表在《智能系统学报》上，得到了西北工业大学何华灿教授的高度评价，并亲自为之写了评论文章。

“S型超协调逻辑”的基本思想，部分在《智能系统学报》发表后，得到一些学者的支持与肯定。也有一些学者发表一些质疑与否定文章。除了少数意见可以采纳用于进一步完善与明晰的理论外，绝大多数存在一些误解，或盲目相信权威，根本没有完全搞懂他的论文。

2015年，在网上一个《学术问题评论园地》里，张金成与何华灿教授正在领导一场历史性的大论战。 “S型超协调逻辑”需要从哲学、逻辑、集合论、无穷、非标准分析等跨领域的全盘理解，一些知识领域片面、盲目迷信权威学者而发表了一些低劣文评，都是对“S型超协调逻辑”的曲解。目前的局势已经表明，新理论的影响正在扩大，传统的势力的阵地正越来越小。谬误终将是谬误。

2016年，张金成的“S型超协调逻辑”已经被译成英文，将在英美澳等西方国家展开宣传，让西方数学界的专家学者理解接受S型超协调逻辑。

新理论的贡献与意义

S超协调逻辑系统一方面是破，否定了以上定理证明是错误的；另一方面是立，也重新建立一些新的命题，新的理论。所以，它具有重大的理论与现实意义。

1、推翻了一批长期盘踞在数学领域的错误定理

“实数不可数”、“全体自然数的幂集合不可数”、“哥德尔不完全定理” 、“图灵停机问题是不可判定的”、“自然数集合上的函数存在非递归函数”等等，以及与之相关的众多定理，都是关联错误的。

2、清扫了一批数学垃圾

由于对角线证明方法的错误推理，在《集合论》、《递归论》、《可计算理论》等理论中，衍生了一批如：不可数、不可判定、非递归，…等无用的数学垃圾，必须全部彻底抛弃。

3、重建了新公理、新系统、新方法、新定理

重新证明了：实数是可数集合；全体自然数的幂集合可数；康托“对角线方法”构造的数是超实数；重新证明了：系统PA是完全的；自然数集合上的函数全部是递归函数；“图灵停机问题”是可判定的，等等。

重新修正了“无穷公理”，重新定义了序数、基数，不再有什么不可数序数与基数；修正了超限归纳法，建立了超自然数归纳法。重新认识了无穷概念，把标准分析、非标准分析与集合论无穷统一起来，等等。

4、破解了一批数学历史上是似而非、长久不解的数学难题

“连续统假设问题”是希尔伯特“23个数学问题”中的第1个问题。1938年，哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科思（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。通常人们认为在这个意义下，问题已获解决。 然而，“S型超协调逻辑”证明不可数基数根本不存在。“连续统假设问题”是一个混淆无穷概念的一个错误问题。还有其他如无穷公理、选择公理、超限归纳法等问题，都有了确定的结论。

5、S型超协调逻辑改变了我们的逻辑思维方式

整过西方经典逻辑是建立在一致性思维的基础上的。西方一致性思维是绝对的。认为整过世界是一致。不知道域外矛盾存在的正常性。认为在一个体系内只要构造出矛盾，这个体系就是错误的。实际上一致性只是相对于一个忽略假设与微观基础的封闭的领域存在。外部世界恰恰是运动的、矛盾的。把域外矛盾当成域内推理依据，导致了像“康托的对角线方法”，“G?del不完全定理”等灾难性的后果。S型超协调逻辑的产生，否定了一致性、不矛盾性的绝对有效性，一致性、不矛盾性也是相对有效的。

经典逻辑的规律历来被认为是绝对真理。从S型超协调逻辑看来并不是如此。不矛盾律、排中律也有适用范围。域外项对经典逻辑不成立。这正像非欧几何的产生，否定了欧氏几何的绝对有效性。S型超协调逻辑的产生，可以和非欧几何的产生相类比。

6、对数学基础、数理逻辑、计算机基础理论等具有变革作用

张金成的发现是令人震惊的。

他让世人清楚看到，原来现代数学的基础理论中竟然隐藏了如此严重的问题群。随着人们认识的深入，S型超协调逻辑的影响将与日俱增。它将影响以反证法思维方式的众多科学领域。科学史上从来没有出现过像“哥德尔定理”、“康托尔定理”、“图灵定理”等如此众多的错误。

和学创始人、当代思想家、哲学家刘浩锋曾指出：任何一个稳定的系统，必须是整体的驾驭局部的、数理辩证逻辑驾驭数理形式逻辑。他与刘浩锋都看到，综合运用数理辩证逻辑和数理形式逻辑，清理和重建这些理论，将引领人类一场新的科学革命。

张金成的S型超协调逻辑，从微观上看是数学，从宏观上看是哲学。原来一致性只在封闭的域中成立，在域外是矛盾的。这个规律在哲学上，古今中外都有所接近的表述。但是，把它从数学上精确表述出来，确实是史无前例的第一次。这是张金成的伟大成就。

S型超协调逻辑将宣告罗素、康托尔、哥德尔、图灵时代的终结。中国文化复兴在数学上迎来了新的巅峰。

人类对客观规律的认识过程是一个不断逼近的过程，永远没有终点。

毋庸置疑，康托，哥德尔， 图灵等是20世纪一代伟大的科学家，曾经在集合论、数理逻辑、计算机及哲学领域取得了划时代的成就。但他们与历史上的伟人一样，同样或多或少存在历史局限性。现在，他们的理论终将被新的理论所代替。

道家言：阴阳化生天地万物。如果把论域放在整个宇宙而言，即推理出“矛盾是推动事物产生发展运动的根本力量”。

悖论的数学规律搞清晰了，自然界、人类社会、科学领域，悖论还没有终结。因为，矛盾是普遍性存在的。

每当科学领域有颠覆性的重大突破，总能看到悖论的神秘力量。悖论是自然界演化的伟大动力，悖论是人类社会进步的英雄史诗！

 (本文参阅何华灿教授《S型超协调逻辑的重大突破》一文，见张金成著：《超协调逻辑原理》，北京图书出版社，2015年第一版，P2。)