本刊主筆  和峰

編者按：西方數學界長期把一致性演繹絕對化，在數學領域發生了重大錯誤，導致數學基礎領域迷霧重重。中國一個業餘的數學學者，通過幾十年研究，把悖論、矛盾思維方式數學化，創立了「S型超協調邏輯」，推翻了一批長期盤踞在數學領域、被奉為經典圭臬的數學定理，他的理論亦為「和學」科學思想體系的天道辯證邏輯提供了數學語言支撐，將領導一個新的數學時代！

浩瀚宇宙，星光燦爛；歷史長河，英雄輩出！

從自然界到人類社會，從科學到宗教，從東方太極到西方辯證法……悖論左右著宇宙的終極規律。

悖論是一個古老而又年輕的科學難題！當結論與初始條件相悖出現矛盾即是悖論。如果事件A發生，則推導出非A；非A發生則推導出A。

古希臘流傳著一個著名的「說謊者悖論」。公元前六世紀，克里特島的哲學家
(Epimenides)說：「所有克利特島人都是說謊者」。這個悖論使人的思維陷入了兩難的境地。由於其通俗性，幾乎人人都能理解。因此，說謊者悖論也成為人們茶餘飯後的思維遊戲。

1897年福爾蒂（Fort）揭示了數學領域集合論中的第一個悖論，以後數學家康托（Cantor）在其序數理論中發現了很相似的悖論。1902年羅素（Russel）又發現了一個嚴格意義上的數學悖論。羅素悖論使整個數學大廈動搖，悖論終於引起了科學界的「驚慌」與高度重視。

西方的迷霧

羅素悖論動搖了整個數學基礎，史稱第三次數學危機。為瞭解決悖論，西方數學界提出了很多新理論、新方法，尋求突破。

為瞭解決這一次數學危機,
羅素提出了邏輯主義的綱領；希爾伯特（Hilbert）提出了著名的希爾伯特計劃，建立一門數學的基礎徹底證明數學的無矛盾性，被稱為形式主義；布勞威爾(Brouwer）提出構造性數學，反對在無窮集合中使用排中律與反證法，被稱為直覺主義。形式主義、邏輯主義、直覺主義是著名的數理邏輯中的三大學派。

還有公理集合論學派，為了克服集合論悖論，試圖把集合論公理化，用公理對集合加以限制。策梅洛（Zermelo）和弗倫克爾（Fraenkel）等提出的ZF系統。

以上方案，本質上都追求系統的一致性，都是為了防止矛盾而建立的。歷史證明，以上各種學派都有各自的優點和缺陷，彌補了數學基礎的很多不足。但他們相互之間並沒有一個統一的認識，各自的目標並沒有完全實現，更沒有把悖論解釋清晰。

經典邏輯系統，是一個相容的邏輯系統，如果出現悖論，系統就會「崩潰」。相對以上一致性的研究方案，近來國際上出來一些容納矛盾與悖論的邏輯系統，這些邏輯系統各不相同，大多數是限制矛盾律的。通過修改經典邏輯系統的否定詞，使系統可以容納矛盾，而不導致系統崩潰。如巴西達克思塔（Da.
Costa）的「次協調邏輯」、美國布蘭登（R.Brandow）的「不協調邏輯」和澳大利亞路特雷（R.Routley）的「超協調邏輯」，以及澳大利亞普里斯特(G.Priest）的「悖論邏輯」，都是這種類型的邏輯系統。

羅素悖論與一個對角線方法有關。「對角線構造方法」也是數學領域的一個經典證明方法。
康托（Cantor）用它證明「自然數冪集合是不可數集合」，「實數集合不可數」； 哥德爾（G?del）用它證明「自然數系統PA是不完全的」，圖靈（Turing）用它證明：「停機問題」是不可判定的；還有遞歸論里用它證明「自然數集合上存在非遞歸集合」，等等，這些重要命題的證明使用了同一的數學方法，被譽為「一條金色的對角線」。

自從「哥德爾不完全定理」，「康托的對角線證明法」的提出，國際上都提出了不少質疑意見。比如著名的奧地利哲學家、數理邏輯學家維特根斯坦（Wittgenstein），就不承認康托爾與哥德爾的證明。澳大利亞悖論邏輯的創始人普里斯特，都否定哥德爾不完全定理證明的有效性。但是，他們的觀點是零碎的，帶有哲學性，數學性不強。沒有把問題搞清晰，說透徹，因此沒有被數學主流學派接受。

幾個世紀以來，對角線方法，以及與之相關的悖論，其存在規律和內在機制仍然沒有搞清。西方數學基礎，像籠罩著重重迷霧，看不清方向，看不到前途。這也意味作，悖論不是某一個數學領域的局部問題，而它孕育一個全新方法的突破。

「石破天驚」的證明

近些年來，中國一個業餘邏輯研究學者—張金成，在歸納西方數學失敗的基礎上，創造了一種全新的邏輯系統—S型超協調邏輯。
S型超協調邏輯把長久不解的各種「數學悖論」、「哥德爾不可判定命題」、「康托的對角線方法證明」等完全統一起來，發現了它們的共同的數學形式，是完全等價的，得出了令世界震驚的結論。

S型超協調邏輯只對經典邏輯系統做了一個很小的修改，而它的推論是顛覆性的、革命性的。否定了一大批西方數學定理，這些定理都是錯誤的。

具體地說：

1、否定了「哥德爾不完全定理」的證明。

1931年哥德爾證明「包含自然數的形式系統是不完全的」，這就是著名的哥德爾不完全定理，被認為是20世紀數學領域劃時代的貢獻，譽為「數學和邏輯發展史中的里程碑」。它已經滲透到數學、邏輯、語言、人工智能、自然科學、思維科學和認識論，乃至人文科學的各個角落。「哥德爾不完全定理」一直被主流學派奉為金科玉律，享有無比崇高的榮譽。S型超協調邏輯證明「哥德爾不可判定命題」是自然數系統中的域外項，進而得到「一般遞歸集合外也存在類似的不可判定命題」。哥德爾不可判定命題並不影響系統的完全性，「哥德爾不完全定理」的證明是不成立的。由於傳統思維的局限性，哥德爾發現了域外項，但他沒有認識到，誤以為證明瞭「不完全定理」。這如同15世紀哥倫布發現了美洲新大陸，但他誤以為是到了印度。哥德爾犯了同類錯誤。

2、否定了「康托定理」的證明。

1873年，康托用一一對應的方法定義了可數集合與不可數集合；用「對角線方法」證明瞭無窮集合不能與它的冪集合建立一一對應關係；自然數集的冪集合是不可數的，實數是不可數的。這些理論已經滲透到現代數學的各個具體領域。S型超協調邏輯證明康托用「對角線方法」構造的項都是域外項，與「悖論」、「域外不可判定命題」在形式上都是一樣的，是一個域外「不封閉項」。因此，康托的證明是不成立的。

否定了「圖靈停機問題不可判定」的證明。圖靈
證明「停機問題不可判定」，這個定理是傳統《可計算理論》的一個重要定理。S型超協調邏輯證明這個定理的證明也是對角線方法，構造的項都是域外項，與「哥德爾不完全定理」、「康托實數不可數」在形式上證明都是一樣的，「圖靈停機問題不可判定」
證明是錯誤的。不可判定的「圖靈機」是一個域外「不封閉項」。

3、否定了反證法的普遍有效性。

反證法是數學中的一個經典證明方法。所有的對角線證明方法都是反證法。S型超協調邏輯表明：反證法只能在一個封閉的域上有效，超出了封閉的域，反證法就無效了。只要有自指代，就可能產生「不封閉項」，在這個基礎上盲目使用「反證法」，只能得出錯誤的結論。所以，不僅「哥德爾不完全定理」的證明是錯誤的，類似或者以「哥德爾不完全定理」為基礎的一些眾多定理、理論，如「圖靈機的停機問題，遞歸集合可判定問題，」等等，都必須重新審查，這將涉及《數學哲學》、《數理邏輯》、《計算機理論》、《函數論》、《測度論》等以「康托不可數理論」為基礎的眾多科學領域。

當代傑出的數學天才

「S型超協調邏輯」的原創者—張金成，是我國當代傑出的數學天才。他原本是安徽廣德縣的普通數學教師。他做出這些重大證明與數學發現，讓人倍感驚訝。他並不是一個專業的科研工作者或大學教授。他原來在黨校從事數學與哲學教學工作，後來因為研究需要，他辭職自己創辦了一個培訓學校，培訓中學生奧數，幾十年業餘堅持研究數學及悖論問題。

張金成初高中時代，就特別愛好數學。讀高中時就自學完成了大學的《微積分》《復變函數論》等內容，對數學具有特別高的天賦與強烈的興趣。他沒有到正規大學學習過數學，高中畢業後即參加了工作。雖然以後在黨校工作中通過函數取得了大學文憑，都與數學無關。所有的數學知識都是他自學完成的。一些讓博士望而生畏的《集合論》《遞歸論》《數理邏輯》等西方數學理論內容，幾乎是無師自通。

早年剛20多歲的他，就在《武大學報》發表數理邏輯論文，並受到武漢大學哲學系教授桂起權、陳曉平的高度重視，並希望能錄取他為武漢大學研究生。由於一些不同意見的阻擾，最終沒有成功。他在《武大學報》發表第一個形式系統Z，現在看來比較幼稚，但為他以後建立「S型超協調邏輯」找准了方向。

他認為西方數理邏輯界的純粹一致性數學系統，排斥矛盾與悖論的研究方法，好像失去了哲學指導，失去了方向，在死衚衕中兜圈子，而找不到根本出路。而中國道家的太極文化蘊含的陰陽辯證哲學是一種接納矛盾的哲學，能否把辯證哲學與數學構造，這兩種發展方向統一起來。使用純粹數學的方法來研究矛盾、悖論等哲學問題，這是西方數學界思想界最前沿的課題，而這成了他堅定的研究目標。幾十年中，他自費參加了幾十次大學院校的各種相關學術會議，斷斷續續進行了上百次修正，終於建成了超協調邏輯系統。

2011年–2014年，他的論文《邏輯及數學演算中的不動項與不可判定命題Ⅰ、Ⅱ》發表在《智能系統學報》上，得到了西北工業大學何華燦教授的高度評價，並親自為之寫了評論文章。

「S型超協調邏輯」的基本思想，部分在《智能系統學報》發表後，得到一些學者的支持與肯定。也有一些學者發表一些質疑與否定文章。除了少數意見可以採納用於進一步完善與明晰的理論外，絕大多數存在一些誤解，或盲目相信權威，根本沒有完全搞懂他的論文。

2015年，在網上一個《學術問題評論園地》里，張金成與何華燦教授正在領導一場歷史性的大論戰。 「S型超協調邏輯」需要從哲學、邏輯、集合論、無窮、非標準分析等跨領域的全盤理解，一些知識領域片面、盲目迷信權威學者而發表了一些低劣文評，都是對「S型超協調邏輯」的曲解。目前的局勢已經表明，新理論的影響正在擴大，傳統的勢力的陣地正越來越小。謬誤終將是謬誤。

2016年，張金成的「S型超協調邏輯」已經被譯成英文，將在英美澳等西方國家展開宣傳，讓西方數學界的專家學者理解接受S型超協調邏輯。

新理論的貢獻與意義

S超協調邏輯系統一方面是破，否定了以上定理證明是錯誤的；另一方面是立，也重新建立一些新的命題，新的理論。所以，它具有重大的理論與現實意義。

1、推翻了一批長期盤踞在數學領域的錯誤定理

「實數不可數」、「全體自然數的冪集合不可數」、“哥德爾不完全定理” 、「圖靈停機問題是不可判定的」、「自然數集合上的函數存在非遞歸函數」等等，以及與之相關的眾多定理，都是關聯錯誤的。

2、清掃了一批數學垃圾

由於對角線證明方法的錯誤推理，在《集合論》、《遞歸論》、《可計算理論》等理論中，衍生了一批如：不可數、不可判定、非遞歸，…等無用的數學垃圾，必須全部徹底拋棄。

3、重建了新公理、新系統、新方法、新定理

重新證明瞭：實數是可數集合；全體自然數的冪集合可數；康托「對角線方法」構造的數是超實數；重新證明瞭：系統PA是完全的；自然數集合上的函數全部是遞歸函數；「圖靈停機問題」是可判定的，等等。

重新修正了「無窮公理」，重新定義了序數、基數，不再有甚麼不可數序數與基數；修正了超限歸納法，建立了超自然數歸納法。重新認識了無窮概念，把標準分析、非標準分析與集合論無窮統一起來，等等。

4、破解了一批數學歷史上是似而非、長久不解的數學難題

「連續統假設問題」是希爾伯特“23個數學問題”中的第1個問題。1938年，哥德爾證明連續統假設與ZF集合論公理系統的無矛盾性。1963年，美國數學家科思（P.Choen）證明連續統假設與ZF公理彼此獨立。因而，連續統假設不能用ZF公理加以證明。通常人們認為在這個意義下，問題已獲解決。 然而，「S型超協調邏輯」證明不可數基數根本不存在。「連續統假設問題」是一個混淆無窮概念的一個錯誤問題。還有其他如無窮公理、選擇公理、超限歸納法等問題，都有了確定的結論。

5、S型超協調邏輯改變了我們的邏輯思維方式

整過西方經典邏輯是建立在一致性思維的基礎上的。西方一致性思維是絕對的。認為整過世界是一致。不知道域外矛盾存在的正常性。認為在一個體系內只要構造出矛盾，這個體系就是錯誤的。實際上一致性只是相對於一個忽略假設與微觀基礎的封閉的領域存在。外部世界恰恰是運動的、矛盾的。把域外矛盾當成域內推理依據，導致了像「康托的對角線方法」，「G?del不完全定理」等災難性的後果。S型超協調邏輯的產生，否定了一致性、不矛盾性的絕對有效性，一致性、不矛盾性也是相對有效的。

經典邏輯的規律歷來被認為是絕對真理。從S型超協調邏輯看來並不是如此。不矛盾律、排中律也有適用範圍。域外項對經典邏輯不成立。這正像非歐幾何的產生，否定了歐氏幾何的絕對有效性。S型超協調邏輯的產生，可以和非歐幾何的產生相類比。

6、對數學基礎、數理邏輯、計算機基礎理論等具有變革作用

張金成的發現是令人震驚的。

他讓世人清楚看到，原來現代數學的基礎理論中竟然隱藏了如此嚴重的問題群。隨著人們認識的深入，S型超協調邏輯的影響將與日俱增。它將影響以反證法思維方式的眾多科學領域。科學史上從來沒有出現過像「哥德爾定理」、「康托爾定理」、「圖靈定理」等如此眾多的錯誤。

和學創始人、當代思想家、哲學家劉浩鋒曾指出：任何一個穩定的系統，必須是整體的駕馭局部的、數理辯證邏輯駕馭數理形式邏輯。他與劉浩鋒都看到，綜合運用數理辯證邏輯和數理形式邏輯，清理和重建這些理論，將引領人類一場新的科學革命。

張金成的S型超協調邏輯，從微觀上看是數學，從宏觀上看是哲學。原來一致性只在封閉的域中成立，在域外是矛盾的。這個規律在哲學上，古今中外都有所接近的表述。但是，把它從數學上精確表述出來，確實是史無前例的第一次。這是張金成的偉大成就。

S型超協調邏輯將宣告羅素、康托爾、哥德爾、圖靈時代的終結。中國文化復興在數學上迎來了新的巔峰。

人類對客觀規律的認識過程是一個不斷逼近的過程，永遠沒有終點。

毋庸置疑，康托，哥德爾， 圖靈等是20世紀一代偉大的科學家，曾經在集合論、數理邏輯、計算機及哲學領域取得了劃時代的成就。但他們與歷史上的偉人一樣，同樣或多或少存在歷史局限性。現在，他們的理論終將被新的理論所代替。

道家言：陰陽化生天地萬物。如果把論域放在整個宇宙而言，即推理出「矛盾是推動事物產生發展運動的根本力量」。

悖論的數學規律搞清晰了，自然界、人類社會、科學領域，悖論還沒有終結。因為，矛盾是普遍性存在的。

每當科學領域有顛覆性的重大突破，總能看到悖論的神秘力量。悖論是自然界演化的偉大動力，悖論是人類社會進步的英雄史詩！

 (本文參閱何華燦教授《S型超協調邏輯的重大突破》一文，見張金成著：《超協調邏輯原理》，北京圖書出版社，2015年第一版，P2。)